약수와 배수를 자꾸 헷갈리는 아이, 수학은 용어를 아는 데서 시작해요

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"엄마, 약수가 뭐였더라? 배수가 큰 거야, 작은 거야?" 문제를 풀다 말고 아이가 이렇게 물어올 때가 있어요. 분명 지난주에 배웠고 문제도 몇 장 풀었는데, 두 낱말이 아이 머릿속에서 자꾸 자리를 바꾸는 거지요.

저도 아이들과 집에서 수학을 공부하며 이 장면을 꽤 여러 번 겪었어요. 처음에는 계산 연습이 부족한가 싶어 문제를 더 풀렸는데, 계산은 맞게 하면서도 "약수를 구하라"는 문제에 배수를 적어 내는 일이 이어졌어요. 그제야 알았어요. 아이가 막힌 곳은 계산이 아니라 낱말의 뜻이었다는 걸요.

오늘은 수학 어휘를 연구한 논문과, 나누어떨어짐이라는 개념을 어른들이 어떻게 이해하는지 살핀 연구를 따라가며, 약수와 배수를 용어부터 차근차근 잡아 주는 법을 이야기해 보려 해요.

Q. 계산은 하는데 왜 용어에서 막힐까요

수학에는 수학에서만 쓰는 낱말이 많아요. 약수, 배수, 공약수, 최소공배수, 소수, 합성수처럼요. 이 낱말들은 일상 대화에서 거의 쓰이지 않아서, 아이에게는 처음 듣는 외국어와 비슷해요. 뜻을 모른 채 문제 유형만 외우면, 유형이 조금만 바뀌어도 어디서부터 손대야 할지 몰라요.

미국 텍사스대학교의 세라 파월 연구팀은 2017년 학술지 『학습과 개인차』에 초등학생들의 수학 어휘를 살핀 연구를 실었어요. 핵심 수학 낱말을 얼마나 아는지 재는 검사를 직접 만들어, 아이들의 일반 어휘 점수, 계산 점수와 나란히 비교해 본 거예요. 결과를 보면 같은 학년 안에서도 아이마다 수학 어휘를 아는 폭이 아주 넓었어요. 그리고 일반 어휘력과 계산력이 수학 어휘를 함께 설명해 주었는데, 그 무게는 아이의 수학 어휘 수준에 따라 달랐다고 해요.

저는 이 결과를 이렇게 읽었어요. 수학 낱말은 계산만 열심히 한다고 저절로 따라오지 않고, 말의 힘과 수의 힘이 함께 받쳐 줘야 자란다는 거예요. 그러니 용어에서 막히는 아이는 머리가 나쁜 게 아니라, 아직 그 낱말을 자기 말로 만들어 볼 기회가 적었던 것일 수 있어요.

이 연구는 미국 아이들을 대상으로 한 관련성 연구라, 우리 아이에게 그대로 옮기거나 원인을 단정할 수는 없어요. 그래도 수학을 "계산"만으로 보지 말고 "말"로도 봐야 한다는 방향은 집에서 충분히 붙잡아 볼 만해요.

Q. 약수와 배수, 아이에게 어떻게 설명하면 좋을까요

저는 낱말을 풀어 주는 데서 시작했어요. 배수의 '배'는 "두 배, 세 배" 할 때 그 배예요. 그러니 배수는 어떤 수를 두 배, 세 배, 네 배 한 수예요. 3의 배수는 3, 6, 9, 12처럼 3씩 계속 커져 가는 수들이지요. 배수는 끝없이 이어져요.

약수의 '약'은 '요약'이나 '약분'에 들어 있는 그 글자로, 줄이고 묶는다는 뜻이 담겨 있어요. 그래서 약수는 어떤 수를 나머지 없이 똑같이 나누어 떨어지게 하는 수예요. 12를 나머지 없이 나눌 수 있는 수는 1, 2, 3, 4, 6, 12예요. 약수는 그 수보다 커질 수 없으니 개수가 정해져 있어요.

말로만 설명하면 금세 잊어버려서, 저희 집에서는 바둑돌을 꺼냈어요. 바둑돌 12개를 남김없이 똑같은 줄로 나눠 보게 하는 거예요. 두 줄, 세 줄, 네 줄, 여섯 줄은 딱 떨어지는데 다섯 줄은 남는 돌이 생겨요. "남김없이 나눠지는 줄 수가 12의 약수야." 반대로 3개씩 묶음을 하나, 둘, 셋 늘려 가며 "3개 묶음을 몇 개 모았을 때의 전체 수가 3의 배수야" 하고 보여 주었어요. 손으로 나누고 손으로 모아 보니, 아이에게 약수는 "나누는 쪽", 배수는 "모으는 쪽"으로 자리 잡기 시작했어요.

Q. 두 낱말이 자꾸 자리를 바꿀 때는 어떻게 하나요

아이가 헷갈리는 가장 큰 이유는 약수와 배수가 사실 하나의 관계를 양쪽에서 부르는 이름이기 때문이에요. "3은 12의 약수"라는 말과 "12는 3의 배수"라는 말은 같은 사실을 서로 다른 쪽에서 본 것이에요. 시소의 이쪽 끝에 앉으면 약수, 저쪽 끝에 앉으면 배수인 셈이지요.

그래서 저는 한 문장을 늘 짝으로 말하게 했어요. "3은 12의 약수야"라고 말했으면 곧바로 "그러니까 12는 3의 배수야"라고 뒤집어 말해 보는 거예요. 처음엔 더듬거리던 아이가 몇 번 하다 보니 "작은 쪽이 약수, 큰 쪽이 배수"라는 걸 스스로 찾아냈어요. 엄마가 알려 준 요령보다, 아이가 입으로 몇 번 굴려 보다 찾아낸 규칙이 훨씬 오래 남더라고요.

헷갈리기 쉬운 자리도 미리 짚어 주면 좋아요. 1은 모든 수의 약수예요. 그리고 어떤 수든 자기 자신은 자기의 약수이면서 동시에 자기의 배수예요. 12는 12의 약수이고, 12의 배수이기도 하지요. 아이가 이 대목에서 "그럼 둘 다야?" 하고 놀란다면, 그건 혼란이 아니라 개념이 자리를 잡아 가는 소리예요.

이 짝이 몸에 붙으면 다음 낱말들도 한결 쉬워져요. '공'은 '공통'의 공, 함께 가진다는 뜻이에요. 그러니 공약수는 두 수가 함께 가진 약수이고, 공배수는 두 수가 함께 가진 배수예요. 12의 약수와 8의 약수를 나란히 적어 보면 1, 2, 4가 겹치는데, 이것이 12와 8의 공약수예요. 그 가운데 가장 큰 4가 최대공약수지요. 3의 배수와 4의 배수를 나란히 적어 보면 12, 24처럼 겹치는 수가 나오고, 그 가운데 가장 작은 12가 최소공배수예요. 낱말을 한 글자씩 풀어 읽으면 긴 용어도 겁낼 필요가 없다는 걸 아이가 스스로 느끼게 돼요.

아이가 "왜 최대공배수는 없어?" 하고 묻는다면 아주 좋은 질문이에요. 배수는 끝없이 이어지니 가장 큰 것을 정할 수 없다는 걸 떠올리면 스스로 답을 찾을 수 있어요. 이런 질문이 나왔다는 건, 아이가 외운 것이 아니라 뜻으로 생각하고 있다는 신호예요.

Q. 어른들도 절차만 붙잡는다는데 정말일까요

캐나다 사이먼프레이저대학교의 리나 자즈키스와 스티븐 캠벨은 1996년 『수학교육연구 저널』에 흥미로운 연구를 실었어요. 초등 교사가 되려고 공부하는 예비 교사들을 한 사람씩 면담하며, 나누어떨어짐이라는 개념을 나눗셈, 곱셈, 소수와 합성수, 인수분해, 배수 판정법과 어떻게 이어서 이해하는지 살펴본 거예요.

결과는 많은 부모님께 위로가 될 거예요. 어느 정도 개념을 이해하고 있는 경우에도, 예비 교사들 사이에 절차에 매달리는 경향이 널리 나타났다는 거예요. 수의 구조를 보면 바로 알 수 있는 문제도 일단 나눗셈부터 해 보려는 식이지요. 수학을 가르칠 어른들도 그랬다면, 우리 아이가 뜻보다 계산 순서를 먼저 붙잡는 건 너무나 자연스러운 일이에요.

이 연구는 어른을 대상으로 한 것이라 아이의 이해와 똑같다고 볼 수는 없어요. 다만 한 가지 힌트는 분명해요. 계산을 빨리 하게 만드는 것만으로는 개념의 그물이 저절로 짜이지 않는다는 거예요. 그래서 집에서는 "답이 몇이야?"보다 "왜 이 수가 약수야?"라고 한 번 더 물어봐 주시면 좋아요. 아이가 "12를 3으로 나누면 남는 게 없으니까" 하고 이유를 말로 꺼낼 때, 계산이 개념으로 이어지기 시작해요.

아래에 오늘 이야기를 한눈에 정리해 두었어요.

구분	약수	배수
낱말 풀이	'약분'의 약, 나누어 줄이는 쪽	'두 배, 세 배'의 배, 모아 키우는 쪽
뜻	나머지 없이 나누어 떨어지게 하는 수	어떤 수를 몇 배 한 수
예시	12의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12	3의 배수: 3, 6, 9, 12, …
개수	정해져 있음	끝없이 이어짐
짝 문장	"3은 12의 약수" ↔ "12는 3의 배수" (같은 관계를 양쪽에서 부른 이름)

Q. 집에서 수학 용어 공부는 어떻게 이어 가면 좋을까요

저희 집에서 오래 붙잡았던 방법은 작은 '수학 낱말 공책'이었어요. 새 낱말이 나올 때마다 한 쪽에 하나씩, 교과서의 뜻을 베끼는 게 아니라 아이가 자기 말로 뜻을 적고, 예시 하나와 그림 하나를 곁들였어요. 약수 쪽에는 바둑돌을 나눈 그림이, 배수 쪽에는 묶음을 모은 그림이 들어갔지요.

그리고 가끔 아이가 엄마에게 그 낱말을 설명해 주는 시간을 가졌어요. 엄마는 일부러 모르는 척하며 "그럼 1은 약수야, 아니야?" 하고 물어요. 아이가 설명하다 막히면 그 자리가 바로 다시 볼 곳이에요. 막혔다고 혼내지 않고 "여기가 아직 흐릿하구나, 같이 다시 보자" 하고 낱말 공책을 함께 펼치면 돼요.

문제집을 풀 때도 문제 속 수학 낱말에 동그라미를 치고 시작하게 해 보세요. "약수를 구하라"의 약수, "공배수"의 공배수에 동그라미를 치고 뜻을 한 번 떠올린 뒤 계산에 들어가는 거예요. 이 작은 멈춤이 문제를 읽는 눈을 길러 줘요.

새 낱말 앞에서 헷갈리는 아이를 보면 엄마 마음에도 조급함이 올라와요. 야고보서는 지혜가 부족한 사람에게 이렇게 말해요.

“너희 중에 누구든지 지혜가 부족하거든 모든 사람에게 후히 주시고 꾸짖지 아니하시는 하나님께 구하라 그리하면 주시리라” (야고보서 1:5, 개역개정)

저는 '꾸짖지 아니하시는'이라는 대목에서 오래 머물렀어요. 모르는 것을 묻는 사람을 하나님께서 꾸짖지 않으시는 것처럼, 집에서도 아이가 "이건 왜 안 나눠져?" 하고 묻는 순간이 꾸중이 아니라 반가움으로 맞아지면 좋겠어요. 묻는 것이 부끄럽지 않은 집에서 아이는 용어를 두려워하지 않고 뜻을 붙잡아 가요. 엄마가 먼저 "엄마도 이 낱말은 헷갈렸어" 하고 말해 주면, 그 집은 더 넉넉한 배움터가 돼요.

약수와 배수처럼 자꾸 자리를 바꾸는 낱말을 아이 말로 정리해 두는 방법이 궁금하시다면 「초등 공부 정리의 기술」을 참고해 보셔도 좋겠어요.

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맘맘톡

아이들과 집에서 수학을 하던 시절, 저는 문제집을 몇 장 풀었는지로 하루를 재곤 했어요. 그런데 아이가 정말 수학과 가까워진 날은 문제를 많이 푼 날이 아니라, 식탁에 바둑돌을 늘어놓고 "엄마, 이건 왜 안 나눠져?" 하고 먼저 물어 온 날이었어요. 낱말의 뜻을 알게 된 아이는 문제를 두려워하기보다 궁금해하기 시작했어요.

아이가 수학 앞에서 궁금해하는 아이로 자라기까지, 제 설명이 늘 좋았던 건 아니에요. 답답한 마음에 말이 먼저 나가던 날도 있었지요. 그런 날에도 아이 안에 배우고 싶은 마음을 지켜 주신 분은 하나님이셨다고 고백해요. 부족한 엄마의 하루를 채워 주신 하나님의 도우심에 감사드려요.

당부드리고 싶은 건 이거예요. 아이가 용어를 헷갈릴 때 "그것도 몰라?" 하는 말은 잠시 넣어 두세요. 수학 낱말은 아이에게 새로 배우는 말이에요. 새 말은 누구나 여러 번 틀리며 자기 것이 돼요. 엄마가 그 낱말을 함께 풀어 주고, 손으로 만져 보게 하고, 입으로 말해 보게 해 주면 아이는 생각보다 빨리 그 말을 자기 것으로 만들어요.

수학은 정답을 빨리 내는 사람이 아니라, 뜻을 붙잡고 끝까지 생각해 보는 사람에게 문을 열어 줘요. 그 첫 문이 용어라는 걸 알고 나면, 오늘 아이의 질문 하나가 조금 더 반갑게 들릴 거예요.

용어를 익히는 일은 하루아침에 끝나지 않아요. 오늘 분명히 알았던 낱말을 다음 주에 또 헷갈리는 날도 있을 거예요. 그럴 때 처음부터 다시 설명하기보다 "지난번에 바둑돌로 나눠 봤던 거 기억나?" 하고 그때의 장면을 꺼내 주세요. 손으로 만졌던 기억이 낱말의 뜻을 다시 불러와 줘요. 같은 낱말을 여러 번 만나며 아이는 그 말을 조금씩 자기 말로 만들어 가요.

이번 주 실천 목표: 이번 주에 바둑돌이나 블록 12개로 아이와 함께 "남김없이 나눠지는 줄"을 찾아보고, "3은 12의 약수, 그러니까 12는 3의 배수" 짝 문장을 아이 입으로 세 번 말해 보게 해 주세요.

용어 하나에 막혀 아이도 엄마도 지친 날에는 이 축복을 함께 읽어 보세요. "소망의 하나님이 모든 기쁨과 평강을 믿음 안에서 너희에게 충만하게 하사 성령의 능력으로 소망이 넘치게 하시기를 원하노라"(로마서 15:13). 오늘 헷갈린 낱말이 내일도 헷갈릴 수 있지만, 우리의 소망은 아이의 진도가 아니라 소망의 하나님께 있어요.

오늘 아이가 약수와 배수를 또 헷갈렸다면, 그건 수학을 못해서가 아니라 새 말을 배우는 중이라서예요. 낱말 하나를 함께 풀어 주는 엄마 곁에서, 아이의 수학은 조금씩 단단해질 거예요.

참고: Powell, Driver, Roberts & Fall, 「An analysis of the mathematics vocabulary knowledge of third- and fifth-grade students: Connections to general vocabulary and mathematics computation」, Learning and Individual Differences 57권(2017), 22–32쪽, doi:10.1016/j.lindif.2017.05.011 · Zazkis & Campbell, 「Divisibility and multiplicative structure of natural numbers: Preservice teachers' understanding」, Journal for Research in Mathematics Education 27권 5호(1996), 540–563쪽, doi:10.5951/jresematheduc.27.5.0540 (2026년 11월 서지·초록 확인)

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